miércoles, 25 de julio de 2012

Triángulo de Pascal

Hola, hace unas semanas Belem me preguntó sobre el triángulo de Pascal. Aquí está más o menos lo que le respondí.


Primero la explicación de lo que es el triángulo de Pascal:  
Se llama así en honor de Blas Pascal quien lo descubrió en 1665, sin embargo los chinos ya lo habían descubierto antes. Se trata de una pirámide en la que en la mera punta se pone el número 1. Luego debajo se ponen dos números 1 como en la figura. En el tercer renglón está el 1,2,1. Si se dan cuenta el número 2 de en medio  en la tercera línea es justamente la suma de los números 1 de la segunda línea, que es la anterior. Ahora sumamos el 2 con el 1 y el resultado lo ponemos debajo, y luego el 2 con el otro 1 y el resultado debajo. Si seguimos esa regla, o sea, sumar los dos números contiguos de una línea y poner el resultado en medio y debajo de ellos vamos a obtener el triángulo. El triángulo puede ser tan grande como quieran, el siguiente tiene 11 renglones solamente.


File:Triángulo de Pascal.svg

El triángulo no solamente es una curiosidad matemática, en realidad tiene muchas aplicaciones, aunque la mayoría de ellas están como a nivel de tercero de secundaria o primero de preparatoria. Sin embargo hay una aplicación muy buena que tiene que ver con probabilidad.

Experimento
El experimento es el siguiente: Primero miren estos dos videos atentamente, uno está en coreano y el otro en inglés, pero no se preocupen, sólo necesitan ver lo que sucede. Repítanlos y veánlos tantas veces sea necesario.



Esta cosa de madera, que se ve en los videos, se llama tablero galton o Galton board en inglés, también se le conoce como Quincunx. Si se dan cuenta, estos tableros tienen una especie de obstáculos que hace que las canicas, que se están dejando caer, se desvíen hacia un lado o hacia el otro. También tienen hasta abajo unas cajitas en donde se guardan las canicas que se dejan caer, son como 10 cajitas me parece. 
Si pudieramos tener varios tableros, de varios tamaños, empezando por uno que tuviera una sola cajita hasta abajo para guardar las canicas y sin obstáculos que obstruyeran y luego otro con dos cajitas con un sólo obstáculo y otro con tres cajas y dos obstáculos y así sucesivamente, podríamos ver lo siguiente: 

  1. Hay una caja en el suelo y tú sostienes una canica justo encima de la caja. Dejas caer la canica ¿En dónde cae la canica? Pues obviamente en la caja (no hay obstáculos, la canica no rebota y por lo tanto no se sale de la caja después).
  2. Ahora hay dos cajas en el suelo una junto a la otra. Encima de las cajas (a unos 5 cm de altura por encima) y justo a la mitad entre las dos (o sea justo arriba de donde las dos cajas se tocan) hay un obstáculo, como el de los videos (en el video coreano es un rombo y en el de los niños es como un palito). Tú sostienes dos canicas. Las dejas caer, primero chocan con el obstáculo y luego van a las cajas. ¿En dónde caen las canicas? Lo más probable es que una canica caiga en una caja y la otra en la otra caja, o sea 1-1. 
  3. Ahora hay 3 cajas, y encima tienes tres palitos u obstáculos en forma de triángulo, primero uno y abajo 2. Tienes 4 canicas. Cuando las dejes caer tendras 1-2-1 pelotas en las cajas. ¿Si ven hacia donde va este procedimiento?
  4. Ahora hay 4 cajas, 6 palitos acomodados como trángulo, 8 canicas. El resultado es 1-3-3-1. 
  5. Ahora hay 5 cajas, ? palitos, ? canicas, ¿Cuál es el resultado?
¿Ven como se forman los números del triángulo? Por su puesto que todo esto es la probabilidad teórica, la experimental como ya sabemos puede variar (lo vimos en clase, con las monedas y con las barajas).  

Aquí esta una página en la que hacen el experimento sin hacer el experimento, es lo que se llama una simulación computacional. Está en inglés, discúlpenme no encontré una en español.
"Rows" significa filas, son las filas de palitos para formar el triángulo, las pueden cambiar con las flechas. "Reset" significa limpiar y volver a empezar el experimento. Eso es lo único que necesitan saber.
Jueguen con esto y díganme que les parece.


Ejemplo concreto en la vida real
De estos casos hay muchos en la naturaleza, por ejemplo: agarran a las niñas de su salón y miden su altura, registran los datos.Suponemos que todos tienen un grupo de cuarto. Ahora ponen las que miden de 70 cm a 90 cm juntas (como si fuera una cajita). Van a ver que son pocas o ninguna. Luego las de 90 cm a 1.10m van a ser más. Ahora las que están entre 1.10m y 1.30m serán la mayoría, Luego de 1.3 m a 1.5 m puede que sean pocas y finalmente de 1.5 m a 1.7 m, muy pocas o ninguna. Aquí se me ocurrió hacer cajitas de 20 cm en 20 cm, pero claro que pueden alterar el tamaño de el agrupamiento, ustedes lo deciden. Para poder hacer un experimento más rápido, lo mejor es medir a la más chaparrita y luego a la más alta para de ahí poder dividir las cajitas.
  • ¿Qué nos dice esto? Qué en el centro hay más que en las orillas. Si se dan cuenta, en la orilla del triángulo de Pascal hay solamente números uno (un número pequeño), mientras que en el centro hay números grandes (el número del mero centro siempre es el más grande). 
  • ¿Cómo se relaciona esto con el ejemplo de las alturas de las niñas? Qué las niñas chaparritas y altas son pocas y que la mayoría son de la misma altura o alturas parecidas, o que hay una altura en la que se concentran más niñas. Ni ellas ni ustedes lo decidieron, así es la naturaleza.
  • ¿Cómo se relaciona esto con la probabilidad? Pues que si yo llego a su salón con la lista de las alumnas y nombro una al azar, lo más probable es que la que nombre esté en el promedio, o sea, en el centro, es decir que no sea ni la más alta ni la más chaparrita. 
Este tipo de estudios son muy importantes por ejemplo al momento de fabricar bancas. La altura de las bancas está diseñada para que se ajuste a la mayor población de niños posible, al menos en este país, puesto que en Suecia son más altos y en Perú un poco más bajos. Estos son algunas de las técnicas que se usan en los famosos estudios de mercado. 


Recomendaciones finales
  • Podrían hacer lo de la caja con sus alumnos (se puede hacer con arena con el mismo resultado) o lo de agrupar a los alumnos por peso, por estatura, por edad.
  • En el museo Universum, dentro de la sección de matemáticas hay una caja de estas para jugar.

Espero que no esté muy enredada tanta información, cualquier duda me escriben.

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